## Wilson 定理 当且仅当 $p$ 为质数时满足 $(p-1)!\equiv -1\pmod p$ ### 证明 #### 充分性 若 $p$ 不为质数 - 当 $p=4$ 时，$(p-1)!=6\equiv2\pmod p$, - 当 $p>4$ 时： - 若 $p$ 不为完全平方数，则存在 $2$ 个不相等的因数 $a,b$ 使得 $ab=p$，则 $(p-1)!=nab\equiv 0\pmod p$. - 若 $p$ 为完全平方数，则 $p=k^2\ (k>2)$，所以 $k<p,2k<p$，则 $(p-1)!=n(k\cdot 2k)=2nk^2\equiv 0\pmod p$ #### 必要性 若 $p$ 为质数，取集合 $A=\{1,2,3,\cdots,p-1\}$，则 $A$ 构成 $p$ 乘法的简化剩余系。 即对于任意 $i\in A$，存在 $j\in A$，使得 $i\cdot j\equiv 1\pmod p$ 还要考虑一种特殊情况，当 $x^2\equiv1\pmod p$ 解得 $x\equiv1\pmod p$ 或 $x\equiv p-1\pmod p$ 其余的两两配对，得 $(p-1)!\equiv1\times(p-1)\equiv-1\pmod p$，得证。 ### 参考 - [威尔逊定理_百度百科](https://baike.baidu.com/item/%E5%A8%81%E5%B0%94%E9%80%8A%E5%AE%9A%E7%90%86/1881444) Loading... ## Wilson 定理 当且仅当 $p$ 为质数时满足 $(p-1)!\equiv -1\pmod p$ ### 证明 #### 充分性 若 $p$ 不为质数 - 当 $p=4$ 时，$(p-1)!=6\equiv2\pmod p$, - 当 $p>4$ 时： - 若 $p$ 不为完全平方数，则存在 $2$ 个不相等的因数 $a,b$ 使得 $ab=p$，则 $(p-1)!=nab\equiv 0\pmod p$. - 若 $p$ 为完全平方数，则 $p=k^2\ (k>2)$，所以 $k<p,2k<p$，则 $(p-1)!=n(k\cdot 2k)=2nk^2\equiv 0\pmod p$ #### 必要性 若 $p$ 为质数，取集合 $A=\{1,2,3,\cdots,p-1\}$，则 $A$ 构成 $p$ 乘法的简化剩余系。 即对于任意 $i\in A$，存在 $j\in A$，使得 $i\cdot j\equiv 1\pmod p$ 还要考虑一种特殊情况，当 $x^2\equiv1\pmod p$ 解得 $x\equiv1\pmod p$ 或 $x\equiv p-1\pmod p$ 其余的两两配对，得 $(p-1)!\equiv1\times(p-1)\equiv-1\pmod p$，得证。 ### 参考 - [威尔逊定理_百度百科](https://baike.baidu.com/item/%E5%A8%81%E5%B0%94%E9%80%8A%E5%AE%9A%E7%90%86/1881444) 最后修改：2025 年 07 月 02 日 © 允许规范转载 赞 如果觉得我的文章对你有用，请随意赞赏